Multiplication des nombres relatifs (et démonstration : pourquoi le produit de deux nombres négatifs est positif)

Je vous propose une synthèse des règles de multiplication des nombres relatifs et une démonstration : pourquoi le produit de deux nombres négatifs est positif.

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Quelles sont les règles à connaître pour la multiplication de deux nombres de signes contraires et la multiplication de deux nombres de mêmes signes ?

Quand 2 nombres de même signe sont multipliés, alors le résultat est toujours positif.

(+) x (+) = (+)

(-) x (-) = (+)

Quand 2 nombres de signes différents sont multipliés, alors le résultat est toujours négatif.

(+) x (-) = (-)

(-) x (+) = (-)

Pourquoi le produit de 2 nombres de signes négatifs est-il positif ?

Posons -2 x -5.
Remplaçons (-5) par (-5 + 5) : -2 x (-5 + 5) = -2 x 0 = 0
On sait que deux quantités dont la somme est égale à 0 sont des opposés.
Or, si on distribue (-2), on trouve que (-2 x -5) + (-2 x 5) = 0
Donc (-2 x -5) et (-2 x 5) sont des opposés.
Comme -2 x 5 = -10, et que l’opposé de -10 est 10, alors -2 x -5 = 10.

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Pour aller plus loin sur les opérations avec des nombres relatifs au collège :

Carte mentale : additionner et soustraire des nombres relatifs (collège)

Multiplier des nombres relatifs : une carte mentale des règles de multiplication